Тези.

Означення 1.

Функція f(x) належить до бетта-класу на відрізку [a,b] (b>a), якщо вона на цьому відрізку:

1). неперервна ( хоча б при xє(a,b), і справа в точці a , і зліва в точці b).

2). строго монотонно зростає, або строго монотонно спадає.

3). випукла (вгору, чи вниз, не має значення).

Це позначається: f(x) є

Теорема 1. Якщо f(x) така, що:

1). Неперервна при xє(a,b) та справа в точці a і зліва в точці b.

2). Має при xє[a,b] першу і другу похідну, які на цій ділянці зберігають свій знак і не дорівнюють 0. То f(x) є

Теорема 2.

Нехай дана деяка f(x) є . Нехай дано якесь число C.

Якщо C>max(f(a),f(b)) або C<min(f(a),f(b)), то рівняння f(x)=C на відрізку [a,b] коренів не має.

Якщо min(f(a),f(b))<C<max(f(a),f(b)), то рівняння f(x)=C на відрізку [a,b] має один корінь.

Означення2.

g(x)-функція, побудована з функції f(x), паралельним переносом, при якому точка (a,f(a)) переходить у точку (0,0).

Формула: g(x)+f(a)=f(x+a) ==> g(x)=f(x+a)-f(a)

Зауваження1: Якщо функція f(x) є то функція g(x) є

Зауваження2: Рівняння f(x)=C еквівалентне рівнянню g(x1)=C-f(a), де x1=x-a;.

Означення 3.

Нехай є якась f(x) є для неї g(x) = f(x+a) - f(a).

Тоді центральним вектором для g(x) називаеться вектор с координатами (b-a, g(b-a)), відкладений від точки початку координат (0,0) на графіку g(x).

Тоді центральною віссю для g(x) називаєтся пряма що проходить через кінці центрального вектора.

Означення 4.

Нехай є якась f(x) є .

Тоді центральним вектором для f(x) називається вектор с координатами (b-a, f(b)-f(a)) відкладений від точки (a,f(a)) на графіку f(x).

Тоді центральною віссю для f(x) називаєтся пряма що проходить через кінці центрального вектора для f(x).

Властивість 1: Центральний вектор дорівнює центральному вектору для f(x).

Зауваження: ці вектори відрізняються лише точками прикладання.

Довжина центрального вектора:

Рівняння центральної прямої :

Нахил центрального вектора.

Де - кут нахилу центрального вектора.( є(-/2, /2))

Це значення головного кута нахилу , інші можна отримати додаючи 2**n, nєZ.

Означення 5.

Нехай існує f(x) є , для неї g(x) = f(x+a) - f(a).

Тоді випуклою площею називається величина:

Зауваження1: величина S може бути як додатньою так і від'ємною , не дивлячись на назву, вона не є площею у геометричному розумінні, геометричний зміст має тільки |Sвип.|.

Теорема 3.

Нехай дана деяка f(x) є . Якщо функція f(x) випукла вгору, то Sвип.>0, якщо функція f(x) випукла вниз, то Sвип.<0. Тут обчислюється випукла площа для f(x) при xє[a,b].

Теорема4.

Нехай існує f(x) є .Тоді на графіку f(x) знайдеться точка максимально віддалена від центральної вісі, і при тому єдина.

Означення бар'єрної відстані.

Бар'єрна відстань (позначається N) - величина, що рівна двум випуклим площам поділеним на довжину центральної вісі. N=2*Sвып. / Lцнтр.

Теорема5.

Нехай існує f(x) є . Тоді всі точки графіку f(x) в яких x є [a,b], віддалені від центральної вісі не більш ніж на у напрямку опуклості.

Означення1.

Нехай існує f(x) є і для неї вирахувана бар'єрна відстань N для [a,b]. Тоді бар'єрним вектором називається вектор ЛОК = N(sin(); sin()). Де -кут нахилу центральної прямої.

Властивість 1.(обчислення бар'єрної відстані)

Якщо умова існування бар'єрної відстані здійсюється ( f(x) є ([a,b]) ) то -

Властивість 2.

Нехай існує f(x) є . Вектор ЛОК перпендикулярний центральній вісі для функції f(x). (І центральна вісь, і вектор ЛОК вираховуються для f(x) на відрізку [a,b].)

Означення 2.

Нехай існує f(x) є . Тоді пряма, яка паралельна центральній вісі (для f(x) на [a,b]) і проходить через кінець вектора ЛОК (відкладеного від точки (a,f(a)) на графіку f(x)) буде називатися бар'єрною прямою.

Означення 3.

Нехай існує f(x) є . Нехай на її графіку побудовані y=a, y=b, центральна вісь для f(x) і бар'єрна пряма. Тоді замкнена область на графіку f(x), обмежена цими чотирьма прямими, називається локалізована область на графіку f(x). Цю область будемо позначати Df.

Лема:

Нехай існує f(x) є . Тоді всі точки на графіку f(x), в яких xє[a,b], лежать у локалізованій області.

Теорема1:

Нехай існує f(x) є . Нехай є якась f1(x) неперервна на [a,b].

Нехай y=l(x) - центральна пряма і y=k(x) -бар'єрна пряма для f(x) на [a,b]. Тоді:

Якщо f(x) опукла вгору на [a,b], то:

Якщо для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)>k(x) ,то для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)>f(x).

Якщо для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)<l(x) ,то для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)<f(x).

Якщо f(x) опукла вниз на [a,b], то:

Якщо для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)<k(x) ,то для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)<f(x).

Якщо для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)>l(x) ,то для будь-якого xє[a,b] буде f1(x)>f(x).

Теорема 2.

Нехай f1(x)є і f2(x)є . Якщо f1(A)-f2(A) і f1(B)-f2(B) мають різні знаки, то існує , лише єдиний корінь рівняння f1(x)=f2(x) на відрізку [A,B].

Метод.

Нехай f1(x)є і f2(x)є . Нехай для них f1(A)-f2(A) і f1(B)-f2(B) мають різні знаки. На координатній площині проведемо дві прямі x=A і x=B. Відкладемо на цих прямих точки (A,f1(A)), (A,f2(A)), (B,f2(B)), (B,f1(B)). Проведемо центральні вісі для функцій - з'єднаємо (A,f1(A)) з (B,f1(B)), і з'єднаємо (A,f1(A)) з (B,f1(B)). Точку перетину центральних осей назовемо L. Проведемо для кожної функціїї бар'єрну пряму. Бар'єрні прямі перетнуться (бар'єрна пряма паралельна відповідній центральній вісі.) Точку перетину бар'єрних прямих позначимо N. Бар'єрна пряма f1 перетне центральну пряму f2 в точці K, а бар'єрна пряма f2 перетне центральну пряму f1 в точці M. Таким чином побудується паралелограм KLMN.

Помітимо, що ділянка координатної площини , обмежена паралелограмом KLMN, є перетином областей Df1 і Df2. З чого випливає, що точка перетину двох кривих (графіків функцій) може лежати тільки в цьому паралелограмі, оскільки вона повинна належати як Df1 так і Df2.

Ординати точок К і М і будуть давати нам новий відрізок [A1,B1].